Парадокс днів народження

91

Різне
Попередній

Наступний

Парадокс днів народження — твердження, що якщо дана група з 23 або більше осіб, то ймовірність того, що хоча б у двох з них дні народження (число і місяць) співпадуть, перевищує 50 %. Для групи з 60 або більше осіб ймовірність збігу днів народження хоча б у двох її членів становить більше 99 %, хоча 100 % вона досягає, тільки коли в групі не менше 366 осіб (з урахуванням високосних років — 367).

Таке твердження може видатися таким, що суперечить здоровому глузду, так як ймовірність одному народитися в певний день року досить мала, а ймовірність того, що двоє народилися в конкретний день — ще менше, але є вірним у відповідності з теорією ймовірностей. Таким чином, воно не є парадоксом в суворому науковому розумінні — логічного протиріччя в ньому немає, а парадокс полягає лише у відмінностях між інтуїтивним сприйняттям ситуації людиною і результатами математичного розрахунку.

Інтуїтивне сприйняття

Один із способів зрозуміти на інтуїтивному рівні, чому в групі з 23 чоловік ймовірність збігу днів народження у двох людей настільки висока, полягає в усвідомленні наступного факту: оскільки розглядається ймовірність збігу днів народження у будь-яких двох людей у групі, то ця імовірність визначається кількістю пар людей, які можна скласти з 23 чоловік. Так як порядок людей в парах не має значення, то загальне число таких пар дорівнює числу сполучень з 23 по 2, тобто 23 х 22/2 = 253 пари. Подивившись на це число, легко зрозуміти, що при розгляді 253 пар людей ймовірність збігу днів народження хоча б у однієї пари буде досить високою.

Ключовим моментом тут є те, що твердження парадоксу днів народження говорить саме про збіг днів народження у будь-яких двох членів групи. Одна з поширених помилок полягає в тому, що цей випадок плутають з іншим схожим, на перший погляд, — випадком, коли з групи вибирається одна людина і оцінюється ймовірність того, що у кого-небудь з інших членів групи день народження співпадає з днем народження вибраного людини. В останньому випадку ймовірність збігу значно нижче.

Розрахунок ймовірності

У даному прикладі для розрахунку ймовірності того, що в групі з n чоловік як мінімум у двох дні народження співпадуть, приймемо, що дні народження розподілені рівномірно, тобто немає високосних років, близнюків, народжуваність не залежить від дня тижня, пори року та інших факторів. Насправді, це не зовсім так — зазвичай влітку народжується більше дітей; крім того, у деяких країнах із-за особливостей роботи лікарень більше дітей народжується в певні дні тижня. Проте нерівномірність розподілу може лише збільшити ймовірність збігу днів народження, але не зменшити: якби всі люди народжувалися тільки в 3 дні 365, то ймовірність збігу днів народження була б дуже високою.

Розрахуємо спочатку, яка ймовірність p (n) того, що в групі з n осіб дні народження всіх людей будуть різними. Якщо n > 365, то в силу принципу Діріхле ймовірність дорівнює нулю. Якщо ж n ? 365, то будемо міркувати таким чином. Візьмемо навмання одну людину з групи і запам’ятаємо його день народження. Потім візьмемо навмання другої людини, при цьому вірогідність того, що у нього день народження не співпаде з днем народження першої людини, дорівнює 1 — 1/365. Потім візьмемо третьої людини, при цьому вірогідність того, що його день народження не співпаде з днями народження перших двох, дорівнює 1 — 2/365. Міркуючи за аналогією, ми дійдемо до останньої людини, для якого ймовірність розбіжності його дня народження з усіма попередніми буде дорівнює 1 — (n — 1)/365. Перемножая всі ці ймовірності, отримуємо ймовірність того, що всі дні народження в групі будуть різними:

Тоді ймовірність того, що хоча б у двох осіб з n дні народження співпадуть, дорівнює

Значення цієї функції переважає 1/2 при n = 23 (при цьому ймовірність збігу дорівнює приблизно 50.7 %). Ймовірності для деяких значень n ілюструються наступної таблиці:

n
p (n)
10 12 %
20 41 %
30 70 %
50 97 %
100 99.99996 %
200 99.9999999999999999999999999998 %
300 (1 − 7×10-73) × 100 %
350 (1 − 3×10-131) × 100 %
366 100 %